Correcció del creixement lineal:

Una vegada que ja hem vist que hi ha diferents ritmes de creixement, estudiarem amb més detall alguns models matemàtics concrets.

Començarem pel creixement lineal; com saps està caracteritzat per:

• La gràfica és una línia recta.
• La taula de valors té diferències primeres constants.
• La fórmula és de primer grau: y=a·x+b

PREGUNTES:

1. Deixa b=0. Mou a. Quin efecte té sobre la recta? Què ocorre si 'a' augmenta? I si disminueix?Quan augmenta ''a'' la recta està més inclinada,quan disminueix està menys inclinada.
2. Què ocorre quan 'a' és positiu? I quan és negatiu?Quan ''a'' és negativa, la recta és decreixent, i quan ''a'' és positiva, la recta és creixent.
3. Ara deixa a=1. Mou b. Quin efecte té sobre la recta? Què ocorre si augmenta? I si disminueix?
   La recta el que fa és pujar i baixar.Si augmenta ''b'' la recta puja i augmenta el seu valor, si ''b'' és negatiu la recta baixa i és negatiu.
4. Què ocorre quan 'b' és positiu? I quan és negatiu?
   Quan és positiu la recta és positiva, i quan la ''b'' és negativa, la recta baixa i també ho és.
5. Mira el triangle ombrejat. Comenta quina relació hi ha amb la resta d'elements treballats.
   Un dels catets mai varia, sols varia l'altre catet, quan menetges a la volta la ''a i la b''.                            
    ---------------------------------------------------
   ''a'' és el pendent de la recta.
   ''b'' determina en quin punt de la recta és talla l'eix vertical.Ordena sobre l'origen de coordenades.                                                                                                                       

Creixement lineal:

Una vegada que ja hem vist que hi ha diferents ritmes de creixement, estudiarem amb més detall alguns models matemàtics concrets.

Començarem pel creixement lineal; com saps està caracteritzat per:

• La gràfica és una línia recta.
• La taula de valors té diferències primeres constants.
• La fórmula és de primer grau: y=a·x+b

PREGUNTES:

1. Deixa b=0. Mou a. Quin efecte té sobre la recta? Què ocorre si 'a' augmenta? I si disminueix?Quan ''a'' augmenta l'angle també augmenta, però quan ''a'' disminueix l'angle també ho fa.
2. Què ocorre quan 'a' és positiu? I quan és negatiu?Quan ''a''és positiu l'angle també i quan és negatiu l'angle seguix sent positiu.
3. Ara deixa a=1. Mou b. Quin efecte té sobre la recta? Què ocorre si augmenta? I si disminueix?La recta el que fa és pujar i baixar.Si augmenta ''b'' la recta puja i augmenta el seu valor, si ''b'' és negatiu la recta baixa i és negatiu.
4. Què ocorre quan 'b' és positiu? I quan és negatiu?Quan és positiu la recta és positiva, i quan la ''b'' és negativa, la recta baixa i també ho és.
5. Mira el triangle ombrejat. Comenta quina relació hi ha amb la resta d'elements treballats.Un dels catets mai varia, sols varia l'altre catet, quan menetges a la volta la ''a i la b''.

Els bombers(sense acabar):

Els Bombers:

1.Inclina la escalera un ángulo de 40º y activa la casilla Mostrar líneas auxiliares. Una vez girada la escalera, ¿qué altura alcanza su extremo con respecto a la base de la misma? Extiende ahora la escalera y anota, en varias posiciones más, la longitud de la escalera y la altura que alcanza el extremo con respecto a la base. Registra en la siguiente tabla los valores que vas obteniendo:

Ángulo de inclinación: 40º
Posición	Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m)	Longitud de la escalera (m)	Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1	4'017	6'25	1'56
2	5'78	8'99	1'53
3	8'51	13'25	1'55
4	6'46	10'064	1'57
5	16'07	25	1'55569
6	11'801	18'359	1'5557
7	9'713	15'111	1'55575
8	8'239	12'817	1'5556

2.Completa ahora la tabla anterior calculando en cada caso la razón entre la altura del extremo de la escalera con respecto a su base y la longitud de la escalera (cuarta columna). ¿Qué observas? 

Ángulo de inclinación: 40º
Posición	Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m)	Longitud de la escalera (m)	Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1	4'017	6'25	0'64
2	5'78	8'99	0'64
3	8'51	13'25	0'64
4	6'46	10'064	0'64
5	16'07	25	0'64
6	11'801	18'359	0'64
7	9'713	15'111	0'64
8	8'239	12'817	0'64

Observe que tots els resultats són el mateix:0'64, tenen eixa raó se semblança.

3.Repliega ahora la escalera y fija el ángulo de inclinación en 20º. Repite el proceso que has seguido en los dos primeros ejercicios con este nuevo ángulo y completa la siguiente tabla:

Ángulo de inclinación: 20º
Posición	Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m)	Longitud de la escalera (m)	Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1	2138	625	3'42
2	2988	8736	0'342
3	6775	1981	3'42
4	508	14853	0'0342
5	8511	25	340'44
6	5606	1639	3'42
7	5428	1587	3'42
8	6689	19556	0'342

¿Qué observas al calcular la razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera?

Que depenent si el nombre és més gran o més petit el resultat varía, però sempre tots els resultats amb la mateixa série de nombres:3,2,4,0...

4.¿Ocurrirá lo mismo para cualquier ángulo de inclinación que fijemos? Es decir, fijado un ángulo, ¿se mantendrá la razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera? En caso afirmativo, ¿cuánto vale dicha razón si el ángulo es de 30º? ¿Y si el ángulo es de 45º?

Primer vaig a fer una taula com les anteriors, amb l'angle de 30º:

Ángulo de inclinación: 31º
Posición	Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m)	Longitud de la escalera (m)	Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1	10072	19556	0'515
2	12876	25	515'04
3	3219	625	5'1504
4	4573	8879	0'515
5	6592	12798	0'515
6	10168	19743	0'515
7	8535	16571	0'515
8	7073	13733	0'515

No puc possar l'angle de 30º just, puc possar o 29º o 31º, la vaig a fer amb l'angle de 31º.

Passa el mateix que avans, que la mateixa séria de nombres es repetix, en aquest casa:5,1,0...

Ara ho vaig a fer amb l'angle de 45º:

Ángulo de inclinación: 40º
Posición	Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m)	Longitud de la escalera (m)	Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1	4419	625	7'07
2	17678	25	707'12
3	15038	21266	0'7071
4	11988	16953	0'7071
5	9113	12887	0'7071
6	7088	10023	0'7071
7	8963	12675	0'7071
8	9263	13099	0'7071

Ací també podem observar el mateix que als cassos anteriors, es repetix una série numérica que és:0,7,1...

5.Haz clic en el botón  Reinicia. Activa la casilla Mostrar triángulo. Observa el triángulo rectángulo ABC. Con respecto al ángulo B, en los ejercicios anteriores has calculado la razón entre su cateto opuesto AC y la hipotenusa BC. Dicha razón se llama SENO del ángulo B y, como has podido comprobar en los ejercicios anteriores, el valor no depende de la longitud de los lados del triángulo, sino solamente de la amplitud del ángulo B. Utiliza la aplicación para calcular el seno de los siguientes ángulos (algunos ya los tienes calculados en los ejercicios anteriores):

Ángulo (º)	Seno	Ángulo (º)	Seno
10	0'17	50	0'76
20	0'34	60	0'86
30	0'5	70	0'93
40	0'64	80	0'98
45	0'70	90	1

4.Haz clic en el botón Reinicia. Activa la casilla Mostrar líneas auxiliares. Calcula la altura a la que se encuentra el punto P₂ de la fachada con respecto al nivel de la calle (punto P₀).

3'898+2'625=6'523 és el que val el punt P2 des de el punt o, amb un angle de 9º.

5.Con un ángulo de inclinación de 40º y una longitud de escalera de 15 metros puedes alcanzar un punto de la fachada. ¿De qué punto se trata? ¿A qué altura está ese punto con respecto a la base de la escalera? ¿Y con respecto al nivel de la calle? 

Es pot alcançar el punt P3.Es troba a 9'677m des de la base de la escala.Con respecte al nivell del carrer: 2'625+9'677=12'302m

6.¿Podríamos calcular la altura de este punto conocida la longitud de la escalera (15 m) y el valor del seno de 40º, que ya has calculado en el ejercicio 5? En caso afirmativo haz los cálculos oportunos y comprueba tus resultados con los que has obtenido en el ejercicio anterio:
Sí es pot s'haria de fer el sin.
Dades:
cat:p
angle:40º
hipotenusa:15m


sin 40=0'64=p/15
p=0'64·15=9'6m

7.Sabiendo que sen 60º=0.866 y que la altura del punto P₄ con respecto a la base de la escalera es de 11.77 m, ¿qué longitud debe tener la escalera para alcanzar dicho punto? Haz los cálculos necesarios y comprueba tus resultados con la aplicación, moviendo para ello el camión hasta el punto adecuado.L'escala déu tenir 18'29m.

8.Calcula la altura del edificio (punto P₅) con respecto al nivel de la calle.14'87m és l'altura que té el punt P5 a partir de la base de l'escala, però des de la base del carrer tindrà una altura de :14'87m+2'625=17'495m.

9.¿Podríamos alcanzar el techo del edificio con un ángulo de inclinación de la escalera de 30º? En caso negativo, ¿qué longitud debería tener la escalera, como mínimo, para lograrlo?No, no es pot.Hauría de tindre uns 26 o 27m.

10.¿Cuál es el mínimo ángulo de inclinación de la escalera con el que podemos alcanzar la altura del edificio?40º.

Correcció de l'exercicci anterior.

1.El sou setmanal.

Hui a classe hem corregit l'exercici que teníen que fer ahir a casa:

Després de fer càlculs, he arribat a la conclusió de que l'opció B alcançarà a l'opció A.

A les 10 setmanes tenim que amb l'opció A és guanyaríen 100$, i que amb l'opció B 5'12$, i és molta diferéncia, però hi ha que pensar que a l'opció A cada setmana que passa se li sumen 10$, i a l'opció B, cada setmana que passa se li suma el doble que l'anterior, per aquesta raó jo he anant fent calculs a partir de la setmana 10:

opció A:

11:110$

12:120$

13:130$

14:140$

15:150$

16:160$

opció B:

11:10'24$

12:20'48$

13:40'96$

14:81'92$

15:122'88$(163'84)

16:245'76$(327'68)

(Ací ho vaig fer malament, perquè vaig calcular mal, aleshores el resultat estava mal, i ja hem perjudica per a l'exercici següent)

Doncs, que a la setmana 16 l'opció B, ja superarà a la A.

I la suma?

En aquesta segona activitat he fet el mateix, una gràfica, amb dos taules de valors, però sumant-li a cada valor de diners, la suma del anterior, i he vist que l'opció B alcança a l'opció A en la setmana 17.

    La segona taula de la 2ª act, està mal, la correcció sería aquesta:

A la taula A,és on trobem la 1ª diferéncia, anomenada lineal.I la seua eqüació és 

y=10·x

A la taula B, és on trobem la 2ª diferecncia anomenada exponencial, on la seua eqüació és 

y=0'01·2^(x-1)

Numb3rs:

1.El sou setmanal.

Després de fer càlculs, he arribat a la conclusió de que l'opció B alcançarà a l'opció A.

A les 10 setmanes tenim que amb l'opció A és guanyaríen 100$, i que amb l'opció B 5'12$, i és molta diferéncia, però hi ha que pensar que a l'opció A cada setmana que passa se li sumen 10$, i a l'opció B, cada setmana que passa se li suma el doble que l'anterior, per aquesta raó jo he anant fent calculs a partir de la setmana 10:

opció A:

11:110$

12:120$

13:130$

14:140$

15:150$

16:160$

opció B:

11:10'24$

12:20'48$

13:40'96$

14:81'92$

15:122'88$

16:245'76$

Doncs, que a la setmana 16 l'opció B, ja superarà a la A.

I la suma?

En aquesta segona activitat he fet el mateix, una gràfica, amb dos taules de valors, però sumant-li a cada valor de diners, la suma del anterior, i he vist que l'opció B alcança a l'opció A en la setmana 17.

    

poquet a poquet.

Triangle més económic:

Mantín fixa la base, mou D. Quin triangle té el menor perímetre?El triangle amb menor períumetre,és un triangle isoscel·les, amb base 2. alçaria 5 i perímetre 12'2cm.

Canvia el valor de la base. Quin triangle té el menor perímetre?El triangle amb menor perímetre si canviem la base, és un triangle isosel·les amb base 3'3,alçària 3'03cm i perímetre 10'2cm.

Rectangle més barat:

Quin és el major valor possible de la base? I el menor?

La base amb major valor és 11'34cm, i la base amb menor valor és 0'02.

Quin rectangle té perímetre mínim?

El rectangle que té de base 2'24cm,alçària 2'23cm i el perímetre 8'94cm.

Fes una taula on poses almenys 20 valors de la base, el corresponent valor de l'alçària i el perímetre.

             Base                                Alçària                              Perímetre

4’68	1’07	11’5
0’2	24’7	49’81
3’52	1’42	9’88
7’44	0’67	16’22
2’69	1’86	9’1
11’34	0’44	23’55
7’57	0’66	16’36
4’35	1’15	10’99
3’72	1’34	10’13
1’41	3’54	9’91
8’36	0’6	17’91
5’76	0’87	13’25
1’84	2’72	9’12
0’38	13’1	26’97
4	1’25	10’5
6’7	0’75	14’89
0’96	5’19	12’3
9’41	0’53	19’88
10’26	0’46	21’49
11’11	0’45	23’12

Representa gràficament les relacions base-alçària i base-perímetre.

1er pas:

2on pas:

Taula més gran:

2ª gràfica:

Taula més clara:

• Podries trobar la fórmula que relaciona l'alçària (a) amb la base (b)?(A1,B1)

I la que relaciona el perímetre (P) amb la base (b)?no. 

La figura plana més econòmica

I ara, passant per diversos polígons regulars, arribarem a concloure quina és, de totes les figures planes que tenen igual àrea, la de menor perímetre. 
Tots els polígons tenen 5 cm2 d'àrea. El nombre de costats es pot modificar amb el botó lliscant. 
Què ocorre amb el perímetre si augmenta el nombre de costats? Que disminueix.                             Triangle:

Quadrat:

Pentagon:

Exagon:

Heptagon:

Hoptogon:

Eneagon:

Decagon:

                                         Dodecaedre:

                                   Dodecàgon:

                                            Tridecàgon:

                                        Tetradecàgon:

                                      Pentadecàgon:

                                     Hexadecàgon:

                                     Heptadecàgon:

                                       Optadecàgon:

                                     Eneadecàgon:

                                      Isodecàgono:

Dibuixa una gràfica que relacione nombre de costats (eix horitzontal) amb perímetre del polígon (eix vertical). Com evoluciona? 

La taula més ampliada;

La gràfica més ampliada:

Quina és la figura de perímetre mínim entre totes les figures planes de 5 cm2 d'àrea? Descriu-la per complet 

Optimitzar triangles:

El triangle té perímetre 10 cm. Pots modificar la longitud de dos costats, ja que el tercer costat està determinat pel perímetre.

Fes que la longitud dels costat b siga 2 cm, i fes variar la longitud del costat 'a'. Quin triangle té àrea màxima? El triangle que té area màxima, és un triangle inssoscel·les amb la lon''a'' de 4cm, i l'àrea de 3'87cm.

Ara, repeteix el procediment amb longitud de 'b' 3 cm Lb= 3'5 L= 4'74cm.

Fes-ho més vegades, canviant cada vegada el valor de la longitud de 'b'.

Quina conclusió n'extraus? Quin triangle de perímetre 10 cm té major àrea?

Després de fer-ho varies vegades, aquest resultat és el més alt que m'ha eixit:

La=3'9 Lb=3 L=3'1 A=4'57

Optimitzar rectangles:

El rectangle té perímetre 10 cm. Pots modificar la longitud de la base; l'alçària està determinada pel perímetre.

Quin rectangle té àrea màxima?

Lb= 2'6 Lc=2'4 A=6'24

Fes una taula on poses almenys 20 valors de la base, el corresponent valor de l'alçària i el de l'àrea. (Una taula amb tres columnes)

      Lb.                                           Lc.                                        Àrea.

3’3	1’7	5’61
4’1	0’9	3’69
2’3	2’7	6’21
1’9	3’1	5’89
4’7	0’3	1’41
0	5	indefinida
4’5	0’5	2’25
1	4	4
2	3	6
3	2	6
4	1	4
5	0	Indefinida
0’7	4’3	3’01
1’3	3’7	4’81
3’8	1’2	4’56
4’8	0’2	0’96
2’2	2’8	6’16
2’9	2’1	6’09
0’4	4’6	1’84
1’1	3’9	4’29

Representa gràficament les relacions base-alçària i base-àrea.
                                        base/alçària

base/area

Optimitzar pentàgons.

Quin pentàgon té àrea màxima? (Ve expressada en centímetres quadrats, evidentment)

A mí m'ix que aquesta fígura és la que té màxima àrea,5'76.

Compara-la amb l'àrea màxima del triangle i del rectangle (tots tres tenen perímetre 10 cm, recorda-ho). Quina àrea és major?

                                                  ?????

La millor figura plana.

De totes les figures planes, la figura òptima és aquella que té l'àrea màxima entre totes les figures amb el mateix perímetre, o el mínim perímetre entre totes les figures amb la mateixa àrea.
Deprés de fer l'estudi d'algunes figures (triangle, rectangle, pentàgon), ja et pots imaginar quina és la figura òptima.
Per si encara tens dubtes, pots utilitzar aquesta construcció.